En liten mattenøtt.

[Mr_Pin]

 En liten mattenøtt.

[metaxa]

Enhver ligning av denne typen er loeselig dersom man antar at x = 0 og y = z:

0^34 + 6^34 = 6^34,

det vil si, enhver kombinasjon av x=0, y=z=a, n=b er loeselig.

Men det var vel neppe svaret du lette etter?

Jeg jobber med en annen loesning som ikke involverer at x=0, men det tar nok litt tid.

[Eyden]

Re: En liten mattenøtt.

[metaxa]

Hva med matematisk induksjon? Det foelgende faar bli paa engelsk ettersom min terminologi er stoedigere i det spraaket naar det kommer til matematikk.

Principle of mathematical induction: Let A or {a_1 , ... , a_n , ....} be a set indexed by Z^+. If a_1 has property P and for each i in Z^+, if a_i has property P then a_i+1 has property P, then each member of A has property P.

Claim: For all w in the set of positive integers, w greater than or equal to 2, x^w + y^w = z^w is a solvable equation.

Base step is to show that x^w + y^w is solvable when w=2. This is done by pythagoras theorem:

x^2 + y^2 = z^2

Induction step: The task is to show that for each w in the set of positive integers greater than or equal to 2, if x^w + y^w = z^w is solvable, then x^w+1 + y^w+1 = z^w+1 is solvable.

Induction hypothesis: Let k be an arbitrarily chosen integer greater than or equal to 2, such that x^k + y^k = z^k.

x^k + y^k = z^k is solvable:

x = kV(z^k - y^k) (where kV is the k'th root)
or y = kV(z^k - x^k)
or z = kV(x^k + y^k)

Then, x = k+1V(z^k+1 - y^k+1)
or y = k+1V(z^k+1 - x^k+1)
or z = k+1V(x^k+1 + y^k+1)

Since k is arbitrarily chosen, it follows from the principle of mathematical induction that for each w in Z^+, w greater than or equal to 2, x^w + y^w = z^w is a solvable equation.

[Terning]

Feil.

Du antar at aV(x^a+y^a) = (a+1)V(x^(a+1)+y^(a+1)), noe som er helt feil.

Det gjelder ikke engang om x = y.

[metaxa]

Nei dette antar jeg ikke i det hele tatt. Mitt argument er at dersom en likning av typen

z = kV(x^k + y^k)

er loeselig, saa er ogsaa likningen

z = k+1V(x^k+1 + y^k+1)

loeselig.

Jeg antar altsaa ikke at z_1 = z_2.

[Terning]

Surrer visst i dag jeg. =)

Men det gjenstår jo for deg å bevise at z = kV(x^k + y^k) ER løselig - du må jo gjøre det for å føre et induktivt bevis.

Og det er sikkert ikke lett.

For det under roten kan jo bli negativt, og da har man ingen løsning, om k er et heltall...

[metaxa]

Hmm.. du har nok rett i at beviset ikke er komplett paa det punktet. Men det under roten kan kun bli negativt under tilfeller der x og/eller y mindre enn null, noe som det vel antas ikke er tilfellet i dette problemet? Og dersom det ikke er tilfellet at det under roten er negativt saa er vel ligningen til enhver tid loeselig? Jeg kan vel legge til foelgdende: likningen er loeselig dersom x,y stoerre enn null. I de andre to der termene under roten har et minustegn: det er vel ikke noevdendig aa si at dersom A + B = C saa er C stoerre enn baade A og B, dersom A og B er positive. Altsaa, ingen av likningene vil gi negative tall under roten dersom baade x og y er positive. Det er vel garantien.

[Terning]

Jeg ser ikke om det er noe/hva feilen er i utledningen din, jeg... om det gjelder x og y større enn 0, altså hvis man kan snakke om en trekant i planet.

Men det kan godt være noe...

Håper jeg ikke driter meg ut nå =)

[metaxa]

Jeg er nok ganske sikker paa at det er feil, eller at det har store mangler, men kondisjonen at x og y maa vaere over null er vel gyldig? Saa negative tall under roten kan umulig vaere problemet med dette beviset. HVa problemet er aner jeg ikke, men jeg er sikker paa at det er et problem.

[metaxa]

Jeg tror jeg har funnet loesningen paa problemet vaart. Mr_Pin's problem er ikke en korrekt gjengivning av Fermats teorem. Fermats teorem sier nemlig ogsaa at x,y,z ikke maa vaere positive, men heltall (integers) ikke lik null. Dermed fungerer ikke mitt bevis for Fermats teorem, men det fungerer for Mr_Pins teorem, selv om han ikke nevnte at x,y,z maa vaere positive saa sa han at det er ok med et hvilket som helst sett med tall som gir en loesning. Med en ekstra kondisjon om at x,y,z maa vaere positive, og siden positive tall er en delmengde av alle tall, saa er beviset gyldig.


Det gjenstaar da aa fundere paa det faktiske Fermats teorem:

[Terning]

Ja, det var noe som skurret. Jeg har lest om Fermats teorem før, nemlig.

Men Mr Pin sa jo aldri det var fermats teorem han spurte om, da.

[metaxa]

Nei, det er sant, derfor mener jeg at mitt "bevis" fungerer for Mr_Pins teorem.

[mærta-bærta]

Merker jeg ble en smuule deprimert nå... Vanskelig....... skjønner ingenting.. må forte meg til en annen tråd....

[Mr_Pin]